Просмотр исходного текста страницы Дискриминатор частоты оптимальный при малом отношении сигнал/шум

{{Заготовка}}

=Описание дискриминатора=
Дискриминатор описывается выражением <br />

<math>u_{D \omega, k} = I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})I'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) + Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})Q'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})</math>,

где <br />
<math>I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{cos}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))</math>,<br />
<math>Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{sin}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))</math>,<br />
<math>I'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = -\sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)(l-1)T_d\mbox{sin}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))</math>,<br />
<math>Q'_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)(l-1)T_d\mbox{cos}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))</math>,<br />

== Особенности работы ==
Для работы дискриминатора требуется формирование особенных квадратур <math>I'_k, Q'_k</math>. Они представляют собой обычные квадратуры, но домноженные на линейно-возрастающую функцию <math>(l-1)T_d</math> (индекс времени ''l'' растет - множитель растет). 

== Дискриминационная характеристика ==

Сделано допущение, что <math>\varepsilon_{\omega,k-1} = \varepsilon_{\omega,k}</math>.

<math>U(\varepsilon_\omega) = A_{IQ}^2\rho(\varepsilon_{\tau,k})\rho(\varepsilon_{\tau,k-1})\mbox{sinc}^2(\varepsilon_{\omega,k-1}T/2)\mbox{sin}(\varepsilon_{\omega,k-1}T),</math>

где <math>A_{IQ} = \frac{AL}{2}</math>, <math>A</math> - амплитуда сигнала <math>y(t_{k,l})</math>, <math>L</math> - количество отчетов, накапливаемых в корреляторе, <math>\varepsilon</math> - разность истинного и опорного параметров. 

Крутизна дискриминационной характеристики при нулевой расстройке по частоте: <math>S_D = A_{IQ}^2T</math>.

В модели задержка сигнала полагалась известной: <math>\rho(\varepsilon_{\tau,k}), \rho(\varepsilon_{\tau,k-1}) = 1</math>.

Дискриминационная характеристика при различных временах накопления:
<center><gallery mode="packed" widths="400px" heights="400px">
Файл:20151028_DhChd_new.png|Дискриминационная характеристика при T=1 мс
Файл:20151028_DhChd_newT5ms.png|Дискриминационная характеристика при T=5 мс
</gallery></center>

== Флуктуационная характеристика ==

Получены зависимости СКО шума на выходе дискриминатора от <math>q_{c/n_0}</math> для различных времен накопления. Теоретические кривые пунктирной линией.

[[File:20132504 CKO(q,T) ChD.png|300x300px|frame|center|]] <br />

Дисперсия шума эквивалентного наблюдения частоты, т.е. шума с выхода дискриминатора, пересчитанного '''к его входу''' при нулевой расстройке по частоте: <br />

<math>D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T}).</math>


Интересно сравнить дисперсию шумов по входу для разных дискриминаторов. На данный момент у нас есть:
* Собственно дисперсия шума на входе рассматриваемого в этой статье дискриминатора. Обозначим ее как <math>D_1</math>: 

<math> D_1 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T_1^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T_1}).</math>

* Дисперсия шума на входе оптимального при низком отношении сигнал/шум частотного дискриминатора (тот, который <math>I_kI'_k+Q_kQ'_k</math>). Формула из диссера Корогодина И. В., или, например, из этой [[Публикация:Корогодин 2013 Потенциальные характеристики оценивания частоты в некогерентном приемнике|статьи]]. Обозначим ее как <math>D_2</math>:

<math> D_2 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T_2^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T_2}).</math>


Вообще говоря, время накопления в корреляторах может быть различно. Если принять равными времена <math>T_1</math> и <math>T_2</math>, получится что дискриминатору с временным сдвигом квадратур (c <math>D_1</math>) нужны будут квадратуры, накопленные на суммарном времени <math>2T_1</math> и разбитые по времени пополам. Для корректности сравнения положим, что во втором дискриминаторе (у которого <math>D_2</math>) коррелятор копит на времени <math>T_2 = 2T_1</math>. Разделим <math>D_2</math> на <math>D_1</math>. После нехитрых вычислений окажется, что 

<math>\frac{D_2}{D_1} = \frac{6}{8}</math>, т. е. <math>D_2 = 0.75*D_1</math> или для СКО:<math>\sigma_2 = 0.866*\sigma_1</math>.

Таким образом, по дисперсии шумов наблюдается не очень то большая разница между сравниваемыми дискриминаторами. На рисунке ниже приведен график зависимости СКО эквивалентных шумов представленных ЧД от отношения сигнал/шум q_{c/n0}.

[[File:20151029_Сравнение СКО.png|центр|500px]]

== Листинг модели ==
Ниже представлен листинг модели, с которой сняты картинки.
{{Hider
 |title = Листинг модели
 |content = <source lang = matlab>
clear all
clc
close all

plotDX = 1; %считаем ДХ
plotFX = 0; %считаем дисперсию шумов

if plotDX
    N = 3000;
    stdn_IQ = 8;
    Tc = 0.005;
    qcno_dB = 45;
    qcno = 10^(qcno_dB/10);
    
    wdop_real = 2*pi*100;
    wdop_oporn = [wdop_real-2*pi*(1/Tc):2*pi*(2/Tc)/500:wdop_real + 2*pi*(1/Tc)];
    
    UdFLL = zeros(1, length(wdop_oporn));
    
    A_IQ = stdn_IQ * sqrt(2 * qcno * Tc);
    Sd = A_IQ^2*Tc;
    
    for k = 1:N
        for j = 1:length(wdop_oporn)
            n_I_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
            n_I = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
            n_Q_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
            n_Q = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
            
            phi_real = [pi/3 pi/3 + Tc*wdop_real(1)];
            phi_oporn =[pi/4 pi/4 + Tc*wdop_oporn(j)];
            
            m_I_old =  A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
            
            m_I = A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
            
            m_Q_old = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
            
            m_Q = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
            
            I_old = m_I_old + n_I_old;
            I = m_I + n_I;
            Q_old = m_Q_old + n_Q_old;
            Q = m_Q + n_Q;
            
            UdFLL(1, j) = UdFLL(1,j) + I*Q_old - Q*I_old;
        end
        if ~mod(k, N/10)
            fprintf('Progress %d%%\n', k*100/N)
        end
    end
    
    UdFLL_mean = A_IQ^2*(sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn)*Tc/2 /pi)).^2.*sin((wdop_real(1)-wdop_oporn)*Tc);
    
    UdFLL = UdFLL/N;
    
    figure
    plot((wdop_real-wdop_oporn)/2/pi,[UdFLL; UdFLL_mean; Sd*(wdop_real-wdop_oporn)]);
    ylim([1.1*min(UdFLL_mean) 1.1*max(UdFLL_mean)])
    grid on;
    xlabel('\Delta f, Гц')
    ylabel('M[u_{Д}]')
    title(['q = ' num2str(qcno_dB) ' дБГц, T = ' num2str(Tc) ' c'])
end

if plotFX
    N = 5000;
    stdn_IQ = 8;
    Tc = 0.02;
    qcno_dB = [10:1:50];
    wdop_real = [2*pi*100];
    wdop_oporn = [2*pi*100];
    
    D_etta_FLL = zeros(1,length(qcno_dB));
    CKO_etta_FLL_teor = nan(1,length(qcno_dB));
    
    for i = 1:length(qcno_dB)
        fprintf('qcno_dB = %.0f\n', qcno_dB(i));
        qcno = 10^(qcno_dB(i)/10);
        A_IQ = stdn_IQ * sqrt(2 * qcno * Tc);
        
        UdFLL = nan(1, N);
        
        for k = 1:N
            
            for j = 1:length(wdop_oporn)
                n_I_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
                n_I = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
                n_Q_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
                n_Q = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
                
                phi_real = [pi/3 pi/3 + Tc*wdop_real(1)];
                phi_oporn =[pi/4 pi/4 + Tc*wdop_oporn(j)];
                m_I_old =  A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
                
                m_I = A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
                
                m_Q_old = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
                
                m_Q = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
                
                I_old = m_I_old + n_I_old;
                I = m_I + n_I;
                Q_old = m_Q_old + n_Q_old;
                Q = m_Q + n_Q;
                
                UdFLL(1, k) = I*Q_old - Q*I_old;
            end
        end
        D_etta_FLL(1,i) = mean((UdFLL - mean(UdFLL)).^2);
        
        CKO_etta_FLL(1,i) = sqrt(D_etta_FLL(1,i));
        CKO_etta_FLL_teor(1,i) = sqrt((A_IQ^2*Tc)^2*(1/(qcno*Tc^3))*(1 + 1/(2*qcno*Tc)));
    end
    figure
    plot(qcno_dB, CKO_etta_FLL, 'r*', qcno_dB, CKO_etta_FLL_teor, 'g')
    xlabel('q_c/n0, дБГц')
    ylabel('\sigma_{вых} ЧД')
    grid on
end
</source>
 |frame-style = border:1px solid Plum
 |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold;text-align:left
 |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center
 |hidden = yes 
}}

[[Категория:Дискриминаторы]]
[[Категория:Оценивание частоты]]