Просмотр исходного текста страницы Фильтр Калмана

== Используемая модель динамической системы ==
Фильтры Калмана базируются на [[Дискретизация|дискретизированных]] по времени [[линейность|линейных]] [[Динамическая система|динамических системах]]. Такие системы моделируются [[Цепь Маркова|цепями Маркова]] при помощи линейных [[Оператор (математика)|операторов]] и слагаемых с [[Нормальное распределение|нормальным распределением]]. Состояние системы описывается вектором конечной размерности — [[Вектор состояния|вектором состояния]]. В каждый такт времени линейный оператор действует на вектор состояния и переводит его в другой вектор состояния (детерминированное изменение состояния), добавляется некоторый вектор нормального шума (случайные факторы) и в общем случае вектор управления, моделирующий воздействие системы управления. Фильтр Калмана можно рассматривать как аналог [[Скрытая марковская модель|скрытым моделям Маркова]], с тем отличием, что переменные, описывающие состояние системы, являются элементами бесконечного множества действительных чисел (в отличие от конечного множества пространства состояний в скрытых моделях Маркова). Кроме того, скрытые модели Маркова могут использовать произвольные распределения для последующих значений вектора состояния, в отличие от фильтра Калмана, использующего модель нормально распределенного шума. Существует строгая взаимосвязь между уравнениями фильтра Калмана и скрытой модели Маркова. Обзор этих и других моделей дан Roweis и Chahramani (1999)<ref>Roweis, S. and Ghahramani, Z., ''[http://www.mitpressjournals.org/doi/abs/10.1162/089976699300016674 A unifying review of linear Gaussian models]'', Neural Comput. Vol. 11, No. 2, (February 1999), pp. 305—345.</ref>.

При использовании фильтра Калмана для получения оценок вектора состояния процесса по серии зашумленных измерений необходимо представить модель данного процесса в соответствии со структурой фильтра — в виде матричного уравнения определенного типа. Для каждого такта {{math|''k''}} работы фильтра необходимо в соответствии с приведенным ниже описанием определить матрицы: эволюции процесса {{math|'''F'''{{sub|''k''}}}}; матрицу наблюдений {{math|'''H'''{{sub|''k''}}}}; ковариационную матрицу процесса {{math|'''Q'''{{sub|''k''}}}}; ковариационную матрицу шума измерений {{math|'''R'''{{sub|''k''}}}}; при наличии управляющих воздействий — матрицу их коэффициентов {{math|'''B'''{{sub|''k''}}}}.

[[Файл:Kalman_filter_rus1.png|right|thumb|631px|Иллюстрация работы фильтра. Квадратами помечены [[Матрица (математика)|матрицы]]. Эллипсами помечены матрицы многомерных нормальных распределений (включая средние значения и ковариации). Не обведёнными оставлены [[Вектор (математика)|векторы]]. В простейшем случае некоторые матрицы не изменяются во времени (не зависят от индекса {{math|''k''}}), но всё равно используются фильтром в каждый такт работы.]]

Модель системы/процесса подразумевает, что истинное состояние в момент {{math|''k''}} получается из истинного состояния в момент {{math|''k''−1}} в соответствии с уравнением:
: <math> \textbf{x}_{k} = \textbf{F}_{k} \textbf{x}_{k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k} + \textbf{w}_{k} </math>,

где

* {{math|'''F'''{{sub|''k''}}}} — матрица эволюции процесса/системы, которая воздействует на вектор {{math|'''x'''{{sub|''k''−1}}}} (вектор состояния в момент {{math|''k''−1}});
* {{math|'''B'''{{sub|''k''}}}} — матрица управления, которая прикладывается к вектору управляющих воздействий {{math|'''u'''{{sub|''k''}}}};
* {{math|'''w'''{{sub|''k''}}}} — [[Гауссовский случайный процесс|нормальный случайный процесс]] с нулевым математическим ожиданием и [[Ковариационная матрица|ковариационной матрицей]] {{math|'''Q'''{{sub|''k''}}}}, который описывает случайный характер эволюции системы/процесса:
: <math> \textbf{w}_{k} \sim N(0, \textbf{Q}_k) </math>

В момент ''k'' производится наблюдение (измерение) {{math|'''z'''{{sub|''k''}}}} истинного вектора состояния {{math|'''x'''{{sub|''k''}}}}, которые связаны между собой уравнением:
: <math> \textbf{z}_{k} = \textbf{H}_{k} \textbf{x}_{k} + \textbf{v}_{k} </math>

где {{math|'''H'''{{sub|''k''}}}} — матрица измерений, связывающая истинный вектор состояния и вектор произведенных измерений, {{math|'''v'''{{sub|''k''}}}} — [[Белый гауссовкий шум|белый гауссовский шум]] измерений с нулевым математическим ожиданием и [[Ковариационная матрица|ковариационной матрицей]] {{math|'''R'''{{sub|''k''}}}}:
: <math>\textbf{v}_{k} \sim N(0, \textbf{R}_k) </math>

Начальное состояние и векторы случайных процессов на каждом такте {<!---->{{math|'''x'''{{sub|0}}}}, {{math|'''w'''{{sub|1}}}}, …, {{math|'''w'''{{sub|''k''}}}}, {{math|'''v'''{{sub|1}}}}, …, {{math|'''v'''{{sub|''k''}}}}<!---->} считаются [[Независимость (теория вероятностей)|независимыми]].

Многие реальные динамические системы нельзя точно описать данной моделью. На практике неучтённая в модели динамика может серьёзно испортить рабочие характеристики фильтра, особенно при работе с неизвестным стохастическим сигналом на входе. Более того, неучтённая в модели динамика может сделать фильтр [[Самовозбуждение|неустойчивым]]. С другой стороны, независимый белый шум в качестве сигнала не будет приводить к расхождению алгоритма. Задача отделения шумов измерений от неучтенной в модели динамики сложна, решается она с помощью теории [[Робастное управление|робастных систем управления]].