Пространственные системы координат (ОП СРНС, лекция)

Конечная функция СРНС - ответить на вопросы "где?" и "когда?" применительно к потребителю. Ответом может послужить и некоторое контекстное описание, но удобнее пользоваться абстракцией координат.

Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Перед СРНС ставится задача определения трех пространственных координат и одной временной (времени). Начнем с изучения различных пространственных систем координат, используемых в СРНС.

Виды пространственных систем координат

Существует значительное многообразие типов систем координат, отличающихся законом связи координат и положения в пространстве. В приложениях СРНС наиболее востребованы системы координат

• по геометрии: прямоугольные и эллипсоидальные;
• по масштабу: общеземные, локальные и связанные с объектом;
• по движению: инерциальные и неинерциальные.

Локальная декартова система координат

Декартова система координат - это прямоугольная система координат с равным масштабом по различным осям.

Для определения декартовой системы координат достаточно задать:

• положение начала системы координат $O$;
• направление осей $OX$, $OY$, $OZ$;
• масштаб по осям.

Геоцентрическая прямоугольная система координат, связанная с Землей

Общепризнанное международное название систем координат данного типа - ECEF (Earth Centered, Earth Fixed). Как следует из названия, геоцентрическая неинерциальная система координат $OXYZ$ жестко связана с Землей и имеет начало в её центре масс.

Ось $OZ$ направлена по оси вращения Земли в сторону Северного полюса.

Ось $OX$ лежит в плоскости земного экватора, связана с нулевым меридианом.

Ось $OY$ дополняет систему координат до правой.

В этой системе координат удобно описывать положение точек, находящихся на земле или движущихся вблизи неё.

ECEF жестко связана с Землей и вращается с ней относительно инерциального пространства. В такой системе положения точек, закрепленных на твердой поверхности Земли, имеют координаты, которые подвергаются только малым изменениям со временем из-за геофизических эффектов. Постоянство координат наземных точек - главное преимущество СК, связанных с Землей.

Существует множество разновидностей ECEF СК, отличающиеся принятым центром масс Земли, нулевым меридианом (об этом далее в разделе про геодезические СК).

Геодезическая система координат

Несмотря на то, что окружающее человека пространство трехмерно, нам удобнее пользоваться двухмерными картами. На то есть ряд причин:

• с двухмерными образами намного удобнее обращаться - создавать, использовать, хранить;
• человек использует не весь объем планеты, а лишь очень тонкую прослойку у поверхности.

Поверхность же эта, в первом приближении, очень близка к сфере. Рисунок дорог, домов, гор, рек и континентов с этой поверхности скопирован на карты.

Находить точку на карте удобнее по абсциссе и ординате на этой карте, а не координатам ECEF. Например, что можно сказать, без дополнительных расчетов, о местоположении точки (4366997, -4867716, 79259)? Или (2701898, -3375560, 4906826)? Где они на карте? На какой высоте расположены? В каком полушарии? Часовом поясе?

Система координат карт - геодезическая. Две координаты задают положение на эллипсоиде, аппроксимирующем земную поверхность, и одна координата - отклонение по высоте от этого эллипсоида (ENU - east, north, up). Но это качественно, а как перейти к конкретным числам?

Датум

Набор параметров, связывающий ECEF и ENU, называется датумом или часто просто геодезической системой.

При работе с СРНС наиболее часто встречаются:

• WGS-84 - основной датум системы NAVSTAR GPS
• ПЗ.90 (ПЗ.90.02) - основной датум системы ГЛОНАСС
• СК-42 - датум, в котором составлены большинство гражданских карт, созданных в Советском Союзе
• СК-95 - обновленный вариант СК-42
• СК-63 - аналогичен СК-42, но параметры засекречены, используется в военных приложениях
• ITRS - международная земная система координат, продвигаемая Международной ассоциацией геодезии
• ETRF-00 - основной датум системы Галилео.

Начало СК

Первым делом, необходимо определиться с началом системы координат.

Центр масс - центр инерции - геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе.

Центр масс Земли, или геоцентр, используется в качестве начала во многих системах координат, т.к. он значительно более стабилен, чем точки поверхности земли. Определяется геоцентр по наблюдению спутников, движущихся в гравитационном поле Земли. Учитывает он массу не только твердых пород, но и океанов, атмосферы.

Анализ спутниковых лазерных дальномерных наблюдений уверенно показывает, что система отсчета, реализованная в координатах станций наблюдений, неподвижных относительно земной коры, ощутимо смещается относительно центра масс Земли. Так, например, в России используется Балтийская система высот - система абсолютных высот, отсчёт которых ведётся от нуля кронштадтского футштока. Высоты на картах отмечены относительного этого футштока. Но он изменяет свою высоту вместе со смещением тектонических плит, а вместе с ним смещаются и отечественные карты относительно карт, составленных, скажем, в США.

На основании современных геофизических моделей и результатов обработки лазерных измерений, GPS и DORIS сделан вывод, что величина скоростей вековых движений (тренд) геоцентра составляет около 1 см в столетие.

Вековые смещения в положении геоцентра можно объяснить такими причинами:

• изменением уровня моря;
• изменениями в ледяном щите (в Гренландии, Антарктиде);
• тектоническими смещениями в земной коре (постледниковая отдача, движение тектонических плит, субдукции и др.).

Годовые колебания в положении геоцентра имеют амплитуда около 4 мм по координатам X, Y и порядка 10 мм по Z.

Также выявлены колебания с периодом 140, 60-70, 20 и 14 суток с амплитудами несколько миллиметров и с погрешностями амплитуд почти такого же порядка.

Движение отсчетной основы наземной сети относительно геоцентра поддается выявлению, но величина его небольшая. Учитывать изменения положения геоцентра в результатах измерений соответствующими комитетами пока не рекомендуется.

Оси эллипсоида

В земных геоцентрических системах координат началом является центр масс Земли, а направление осей связывается с положением полюса Земли, ее экватора и нулевого меридиана.

Полюсом называется точка пересечения оси вращения с поверхностью. Под действием множества факторов мгновенные полюса перемещаются. В геодезических системах координат используются условные географические полюса, полученные усреднением наблюдений в разветвленных наземных сетях.

В начале прошлого столетия за определение условного полюса отвечала Международная служба широты (МСШ), в настоящее время мониторингом мгновенного смещения полюсов относительной условных занимается Международная служба вращения Земли и референцных систем (IERS) с помощью разветвленной сети из 50 с лишним станций. Эта же организация контролирует смещение центра масс Земли и прочих параметров.

Выявленный тренд движения полюсов Земли - около 1 градуса в 1 млн. лет.

В мелком масштабе времени движение обусловлено приливами земной поверхности под действием Луны и Солнца. Воздействие гравитации этих небесных тел приводит к сжатию и разжатию поверхности примерно на 1 метр.

Из за наклона плоскости экватора относительно плоскости орбиты Земли Солнце с разной силой притягивает северную и южную части планеты, что вызывает прецессию земной оси. Эффект усиливается резонансом, вызванным гравитационным взаимодействием с Луной. В результате полюса Земли каждый год смещаются на несколько метров.

Движение истинного северного полюса (точки с шагом в 30 дней)

Референц-эллипсоид

Геоид - фигура сложной формы, образованная поверхностью уровня вод Мирового океана, продолженной под материками. Эта поверхность во всех точках перпендикулярна (нормальна) вектору силы тяжести, при этом эта нормаль, как правило, не проходит через центр тяжести планеты.

Эллипсо́ид — поверхность, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.

Предположим, что мы выбрали некоторый эллипсоид как аппроксимацию земного геоида. При этом эллипсоид сплющивает лишь по одной оси, тем самым он остается телом вращения.

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — это фигура, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его осей.

Топоцентрические и геоцентрические геодезические системы координат

Геодезические системы координат можно разделить на геоцентрические (общеземные, глобальные) и топоцентрические (национальные).

Глобальные системы координат минимизируют разницу между геоидом и референц-эллипсоидом по всей поверхности Земли или большей её части, при этом:

• объем эллипсоида предполагается равным объему геоида;
• большая полуось эллипсоида лежит в плоскости экватора геоида;
• малая полуось направлена по оси вращения Земли.

Примеры систем - ПЗ-90, WGS-84.

В топоцентрической (национальной) референц-эллипсоид располагают так, чтобы для заданной территории среднеквадратичное отклонение поверхности эллипсоида от поверхности геоида было минимальным. Отклонения на другой стороне Земли при этом может быть сколь угодно велико. Примеры таких систем - СК-42, СК-95.

Геоцентрическая инерциальная система координат

Для обеспечения работоспособности СРНС необходимо производить расчет и прогноз положения навигационных аппаратов. Их движение, в первом приближении, описывается уравнениями Ньютоновской механики, которые справедливы в инерциальной системе координат.

Любая система координат, которая жестко связана с Землей, существенно отлична от инерционной в масштабах движения космических аппаратов. Примерно за сутки эта система координат успевает развернуться относительно инерционных.

Геоцентрическая инерциальная система координат $OX_0Y_0Z_0$, в первом приближении, не изменяет своей ориентации относительно инерциального пространства. Плоскость $X_0OY_0$ лежит в плоскости экватора Земли, ось $OX_0$ направлена в точку весеннего равноденствия - точку Весны или точку Овна $\gamma$, которая лежит на линии пересечения плоскости экватора Земли и плоскости орбитального движение Земли вокруг Солнца. Ось $OZ_0$ дополняет прямоугольную систему координат до правой, т.е. направлена вдоль оси вращения Земли в сторону Северного полюса.

Преобразование координат

Ссылки

• Т.В. Бордовицына ТЕХНОЛОГИИ ГЛОБАЛЬНОГО ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ (GPS/ГЛОНАСС)
• Wiki. Geodetic system
• Wiki. ECEF
• Хабрахабр. Занимательная геодезия
• Л.Д. Акуленко, С.А. Кумакшев, А.М. Шматков Математический прогноз движения полюса Земли