Дискриминатор частоты с временным сдвигом квадратурных компонент

Дискриминатор частоты с временным сдвигом квадратурных компонент известен в англоязычной литературе как cross-product дискриминатор.

Дискриминатор использует отсчеты коррелятора с текущего и предыдущего такта работы:

$u_{D \omega, k} = I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})Q_{k-1}(\widetilde{\tau}_{k-1},\widetilde{\omega}_{d\,k-1}) - Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k})I_{k-1}(\widetilde{\tau}_{k-1},\widetilde{\omega}_{d\,k-1})$,

где

$I_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{cos}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$,

$Q_k(\widetilde{\tau}_k,\widetilde{\omega}_{d\,k}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k,l})h_{c}(t_{k,l}-\widetilde{\tau}_k)\mbox{sin}(\omega_0t_{k,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k}(l-1)T_d))$,

$I_{k-1}(\widetilde{\tau}_{k-1},\widetilde{\omega}_{d\,{k-1}}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k-1,l})h_{c}(t_{k-1,l}-\widetilde{\tau}_{k-1})\mbox{cos}(\omega_0t_{k-1,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k-1}(l-1)T_d))$,

$Q_{k-1}(\widetilde{\tau}_{k-1},\widetilde{\omega}_{d\,k-1}) = \sum_{l=1}^{L}y(t_{k-1,l})h_{c}(t_{k-1,l}-\widetilde{\tau}_{k-1})\mbox{sin}(\omega_0t_{k-1,l}+\widetilde{\omega}_{d\,k-1}(l-1)T_d))$.

Особенности работы

Варианты работы дискриминатора

Возможны различные реализация дискриминатора. На рисунке представлено два варианта, условно названных "Перекрытие" и "Перекрытие отсутствует". Поясним рисунок.

Пусть в некоторый момент времени $t_{k}$ доступны отсчеты с выхода коррелятора $I_k, Q_k$ и отсчеты из предыдущей эпохи $I_{k-1}, Q_{k-1}$. На их основе можно сформировать отсчет дискриминатора $u_{D\omega,k}$. Далее возможны варианты.

В случае, если работа идет с "перекрытием", следующий отсчет дискриминатора $u_{D\omega,k+1}$ будет сформирован из новых отсчетов коррелятора $I_{k+1}, Q_{k+1}$ и уже использованных в предыдущем шаге $I_k, Q_k$. Таким образом, каждое вычисление отсчета дискриминатора использует отсчеты коррелятора, уже использованные в расчете предыдущего значения дискриминатора. Поэтому шум выхода дискриминатора в данном случае оказывается коррелированным, а его СПМ отличается от СПМ белого шума.

Если дискриминатор работает без "перекрытия", для расчета соседних значений выхода дискриминатора каждый раз используются разные корреляционные суммы. В этом случае, шум дискриминатора будет некорреллированным с равномерной СПМ. Однако, темп работы такого дискриминатора ниже в 2 раза: ему нужно "дождаться" следующей пары отсчетов.

Для дискриминатора "с перекрытием" использование статистического эквивалента вида

$u_{D\omega,k} = S_{D}(\omega_k - \widetilde{\omega_k}) + n_{D,k}$, где $n_{D,k} \sim N(0, D_\eta)$

при моделировании следящих систем недопустимо, т.к. он не отражает корреляционных свойств. Следует воспользоваться статистическими эквивалентами коррелятора.

Дискриминационная характеристика

Сделано допущение, что $\varepsilon_{\omega,k-1} = \varepsilon_{\omega,k}$.

$U(\varepsilon_\omega) = A_{IQ}^2\rho(\varepsilon_{\tau,k})\rho(\varepsilon_{\tau,k-1})\mbox{sinc}^2(\varepsilon_{\omega,k-1}T/2)\mbox{sin}(\varepsilon_{\omega,k-1}T),$

где $A_{IQ} = \frac{AL}{2}$, $A$ - амплитуда сигнала $y(t_{k,l})$, $L$ - количество отчетов, накапливаемых в корреляторе, $\varepsilon$ - разность истинного и опорного параметров.

Крутизна дискриминационной характеристики при нулевой расстройке по частоте: $S_D = A_{IQ}^2T$.

В модели задержка сигнала полагалась известной: $\rho(\varepsilon_{\tau,k}), \rho(\varepsilon_{\tau,k-1}) = 1$.

Дискриминационная характеристика при различных временах накопления:

• 

  Дискриминационная характеристика при T=1 мс

• 

  Дискриминационная характеристика при T=5 мс

Флуктуационная характеристика

Получены зависимости СКО шума на выходе дискриминатора от $q_{c/n_0}$ для различных времен накопления. Теоретические кривые пунктирной линией.

Дисперсия шума эквивалентного наблюдения частоты, т.е. шума с выхода дискриминатора, пересчитанного к его входу при нулевой расстройке по частоте:

$D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T}).$

Сравнение с другими ЧД

Интересно сравнить дисперсию шумов по входу для различных дискриминаторов:

• Собственно дисперсия шума на входе рассматриваемого в этой статье cross дискриминатора. Обозначим ее как $D_1$:

$D_1 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{1}{q_{c/n_0}T_1^3}(1+\frac{1}{2q_{c/n_0}T_1}).$

• Дисперсия шума на входе оптимального при низком отношении сигнал/шум частотного дискриминатора (тот, который $I_kI'_k+Q_kQ'_k$) , . Обозначим ее как $D_2$:

$D_2 = D_{\widetilde{\eta}_\omega} = \frac{6}{q_{c/n_0}T_2^3}(1+\frac{1}{q_{c/n_0}T_2}).$

Пусть cross дискриминатор реализован по схеме без перекрытия, тогда $T_2 = 2T_1$ и

$\frac{D_2}{D_1} = \frac{6}{8}$,

или для СКО:

$\sigma_2 = 0.866*\sigma_1$.

Дискриминатор cross проигрывает $I_kI'_k+Q_kQ'_k$ около 15% по СКО во всем диапазоне с/ш. На рисунке ниже приведен график зависимости СКО эквивалентных шумов представленных ЧД от отношения сигнал/шум $q_{c/n0}$.

Ошибка создания миниатюры: convert: unable to open image `/app/images/0/07/20151029__.png': No such file or directory @ error/blob.c/OpenBlob/2641.
convert: no images defined `/tmp/transform_3b810c107e30-1.png' @ error/convert.c/ConvertImageCommand/3044.

Далее построены дискриминационные характеристики сравниваемых дискриминаторов. Как и при сравнении дисперсий шума, полагаем $T_2 = 2T_1$.

Из приведенного рисунка следует вывод, что апертура обоих частотных дискриминаторов равна
$A_\omega=\frac{2}{T_u}$.
$T_u$ - темп работы дискриминатора. Ранее дискриминаторы сравнивались при условии $T_u = T_2 = 2T_1$, т.е. при одинаковом темпе работы. При анализе "cross" дискриминатора нужно помнить, что $T_1$ в формулах его характеристик - это время когерентного накопления в корреляторе, а темп работы самого дискриминатора по схеме без перекрытия $T_u = 2T_1$.

Листинг модели

Ниже представлен листинг модели, с которой сняты картинки.

Листинг модели  

clear all
clc
close all

plotDX = 1; %считаем ДХ
plotFX = 0; %считаем дисперсию шумов

if plotDX
    N = 3000;
    stdn_IQ = 8;
    Tc = 0.005;
    qcno_dB = 45;
    qcno = 10^(qcno_dB/10);
   
    wdop_real = 2*pi*100;
    wdop_oporn = [wdop_real-2*pi*(1/Tc):2*pi*(2/Tc)/500:wdop_real + 2*pi*(1/Tc)];
   
    UdFLL = zeros(1, length(wdop_oporn));
   
    A_IQ = stdn_IQ * sqrt(2 * qcno * Tc);
    Sd = A_IQ^2*Tc;
   
    for k = 1:N
        for j = 1:length(wdop_oporn)
            n_I_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
            n_I = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
            n_Q_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
            n_Q = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
           
            phi_real = [pi/3 pi/3 + Tc*wdop_real(1)];
            phi_oporn =[pi/4 pi/4 + Tc*wdop_oporn(j)];
           
            m_I_old =  A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
           
            m_I = A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
           
            m_Q_old = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
           
            m_Q = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
           
            I_old = m_I_old + n_I_old;
            I = m_I + n_I;
            Q_old = m_Q_old + n_Q_old;
            Q = m_Q + n_Q;
           
            UdFLL(1, j) = UdFLL(1,j) + I*Q_old - Q*I_old;
        end
        if ~mod(k, N/10)
            fprintf('Progress %d%%\n', k*100/N)
        end
    end
   
    UdFLL_mean = A_IQ^2*(sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn)*Tc/2 /pi)).^2.*sin((wdop_real(1)-wdop_oporn)*Tc);
   
    UdFLL = UdFLL/N;
   
    figure
    plot((wdop_real-wdop_oporn)/2/pi,[UdFLL; UdFLL_mean; Sd*(wdop_real-wdop_oporn)]);
    ylim([1.1*min(UdFLL_mean) 1.1*max(UdFLL_mean)])
    grid on;
    xlabel('\Delta f, Гц')
    ylabel('M[u_{Д}]')
    title(['q = ' num2str(qcno_dB) ' дБГц, T = ' num2str(Tc) ' c'])
end

if plotFX
    N = 5000;
    stdn_IQ = 8;
    Tc = 0.02;
    qcno_dB = [10:1:50];
    wdop_real = [2*pi*100];
    wdop_oporn = [2*pi*100];
   
    D_etta_FLL = zeros(1,length(qcno_dB));
    CKO_etta_FLL_teor = nan(1,length(qcno_dB));
   
    for i = 1:length(qcno_dB)
        fprintf('qcno_dB = %.0f\n', qcno_dB(i));
        qcno = 10^(qcno_dB(i)/10);
        A_IQ = stdn_IQ * sqrt(2 * qcno * Tc);
       
        UdFLL = nan(1, N);
       
        for k = 1:N
           
            for j = 1:length(wdop_oporn)
                n_I_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
                n_I = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
                n_Q_old = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
                n_Q = 1*stdn_IQ * randn(1,1);
               
                phi_real = [pi/3 pi/3 + Tc*wdop_real(1)];
                phi_oporn =[pi/4 pi/4 + Tc*wdop_oporn(j)];
                m_I_old =  A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
               
                m_I = A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*cos(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
               
                m_Q_old = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(1) - phi_oporn(1) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
               
                m_Q = - A_IQ * sinc((wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2 /pi)*sin(phi_real(2) - phi_oporn(2) + (wdop_real(1)-wdop_oporn(j))*Tc/2);
               
                I_old = m_I_old + n_I_old;
                I = m_I + n_I;
                Q_old = m_Q_old + n_Q_old;
                Q = m_Q + n_Q;
               
                UdFLL(1, k) = I*Q_old - Q*I_old;
            end
        end
        D_etta_FLL(1,i) = mean((UdFLL - mean(UdFLL)).^2);
       
        CKO_etta_FLL(1,i) = sqrt(D_etta_FLL(1,i));
        CKO_etta_FLL_teor(1,i) = sqrt((A_IQ^2*Tc)^2*(1/(qcno*Tc^3))*(1 + 1/(2*qcno*Tc)));
    end
    figure
    plot(qcno_dB, CKO_etta_FLL, 'r*', qcno_dB, CKO_etta_FLL_teor, 'g')
    xlabel('q_c/n0, дБГц')
    ylabel('\sigma_{вых} ЧД')
    grid on
end